Toutes les citations seront tirées de Solid State Physics par Ashcroft et Mermin.

Bravais Lattice:

Un concept fondamental dans la description de tout solide cristallin est celui du Réseau de Bravais , qui spécifie le tableau périodique dans lequel les unités répétées du cristal sont disposées. Les unités elles-mêmes peuvent être des atomes uniques, des groupes d'atomes, des molécules, des ions, etc., mais le réseau de Bravais ne résume que la géométrie de la structure périodique sous-jacente, quelles que soient les unités réelles. "

Cellule d'unité primitive:

Un volume d'espace qui, lorsqu'il est traduit par tous les vecteurs d'un treillis de Bravais, remplit tout l'espace sans se chevaucher ni laisser de vides est appelé un cellule primitive ou cellule unitaire primitive du réseau.

Cellule d'unité; cellule d'unité conventionnelle:

On peut remplir l'espace avec des cellules unitaires non primitives (appelées simplement cellules unitaires ou cellules unitaires conventionnelles ). Une cellule unitaire est une région qui remplit juste l'espace sans aucun chevauchement lorsqu'elle est traduite par un sous-ensemble des vecteurs d'un réseau de Bravais. La cellule unitaire conventionnelle est généralement choisie pour être plus grande que la cellule primitive et pour avoir la symétrie requise.

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Structure cristalline:

Un cristal physique peut être décrit en donnant son réseau de Bravais sous-jacent, avec une description de la disposition des atomes, molécules, ions, etc. dans un cellule primitive.

Ainsi, on arrive à 14 réseaux de Bravais à partir de considérations de symétrie, divisés en 7 systèmes cristallins (cubique, tétragonal, orthorhombique, monoclinique, triclinique, trigonal et hexagonal). Cela vient uniquement en énumérant les façons dont un tableau périodique de points peut exister en 3 dimensions.

Maintenant, ce qui est sur ces points est une cellule unitaire, qui aura elle-même une certaine symétrie. Ainsi, la combinaison du réseau de Bravais et de la symétrie des cellules unitaires peut à nouveau être énumérée et on aboutit à 230 groupes d'espaces.

Maintenant, pour certaines de vos questions connexes:

Tous les treillis de Bravais liés au cube auront des angles de 90 degrés car ils sont basés sur une symétrie cubique. Le réseau trigonal de Bravais n'a pas d'angle de 90 degrés, mais on n'en parle pas beaucoup dans les manuels plus basiques parce que, eh bien, il a l'air bizarre.

Pourquoi pas de cellules unitaires pentagonales? Eh bien, parce que vous ne pouvez pas remplir l'espace avec un treillis Bravais symétrique 5 fois. Les quasi-cristaux, bien qu'ils aient une symétrie de 5 fois, sont un pavage à travers l'espace qui n'obéit pas aux règles d'un treillis de Bravais.

Si vous voulez suivre la règle, selon laquelle un cristal est formé par la symétrie de translation infinie d'une cellule unitaire, alors les seules possibilités de partir sont deux structures: les parallélépipèdes et les prismes hexagonaux.

Vous pouvez toujours, et uniquement, à l'exception des prismes hexagonaux, remplir l'espace en empilant des parallélépipèdes dans les trois directions. Rhomboédrique, cubique, trigonale etc. . Ceux-ci constituent six des sept systèmes cristallins, et l'hexagonale est le cas spécial constituant le septième.

Les réseaux de Bravais proviennent de cellules unitaires qui ont une symétrie interne. Vous pouvez vous en passer en les décrivant avec l'un des systèmes cristallins les moins symétriques, mais la règle est d'attribuer le système cristallin avec la symétrie la plus élevée. Il n'y a pas encore autant de possibilités d'avoir une symétrie interne, donc cela ne fait que 14 treillis Bravais sur les 7 systèmes cristallins.

Le paradigme n'est pas de penser à des moyens de rendre le système sans cesse plus compliqué, mais de partir du système le plus étrange capable de remplir l'espace, et de penser aux possibilités (limitées) pour le rendre plus simple (c'est-à-dire symétrique).

La structure cristalline et la symétrie dépendent des paramètres de réseau a, b, c et des angles $ \ alpha, \ beta $ et $ \ gamma $. Lors de la répétition de ces combinaisons, il répète l'un des 14 treillis Bravais. Par conséquent, aucune autre combinaison n'est possible. C'est pourquoi nous n'avons que 7 systèmes cristallins et 14 réseaux Bravais

Les treillis de Bravais ont une symétrie de translation. Comme vous l'avez mentionné, toutes les symétries de translation possibles sont classées en 14 types. Certains des treillis avec des symétries supplémentaires (en plus de la symétrie de translation) sont placés dans certains types. Par exemple, le système cristallin cubique avec trois sous-catégories a le plus de degrés de symétrie. Tout autre réseau qui n'a pas de symétrie supplémentaire est sous Triclinic. Par conséquent, vous ne pouvez avoir aucun autre type. Parce que toutes les symétries de translation possibles avec des symétries de point supplémentaires sont catégorisées et le reste est de type Triclinic. La note est laissée à l'extérieur.

Il existe des groupes de points, c'est-à-dire combinaison d'éléments de symétrie. Il pourrait y avoir de nombreuses combinaisons d'éléments de symétrie possibles. Mais seuls ceux qui s'intègrent bien avec la symétrie de translation sont autorisés. Dans un espace tridimensionnel, basé sur les restrictions ci-dessus, seuls 32 groupes de points sont autorisés. Là, 32 groupes de points autorisés nécessitent 14 treillis bravais qui sont des groupes en sept systèmes.