Les électrons n'occupent pas de place. A part cela, vous avez généralement raison. En effet, $ \ psi (r_1, r_2) $ doit disparaître à $ r_1 = r_2 $ à cause du théorème de statistiques de spin, sinon pour une autre raison. Mise à jour. Il a été porté à mon attention que ce raisonnement n'est pas tout à fait exact; voir le commentaire ci-dessous. Pourtant, je m'attendrais au moins à une cuspide pointant vers le bas, un peu comme la cuspide pointant vers le haut trouvée au noyau, mais à l'inverse.

Ceci, cependant, n'est pas facile à visualiser. Nous n'avons pas l'habitude d'imaginer des surfaces multidimensionnelles. Et si nous essayons de nous concentrer sur un électron à la fois, alors nous revenons à l'approximation à un électron, et la multiparticule précise $ \ psi $ nous est perdue.

BTW, l'argument de la répulsion infinie ne fonctionne pas. Après tout, $ \ psi $ ne disparaît pas près du noyau; cela n'impliquerait-il pas une attraction infinie? Non, ce ne serait pas le cas. Vous intégrez tout l'espace et vous trouvez un chiffre pour l'énergie, qui est sûrement fini.

Étant donné que les deux électrons ont un spin antisymétrique, votre ami a raison.

Le phénomène s'appelle les tas de Fermi.

Il faut considérer la fonction d'onde pour les deux électrons comme le produit d'une partie spatiale et de spin, $ \ psi = \ psi_ {space} \ sigma_ {spin} $. Comme les électrons sont des demi-particules de spin (fermions), la fonction d'onde totale doit être asymétrique à l'échange de coordonnées. La réponse à votre question dépend alors de savoir si les électrons sont dans un état de spin singulet ou triplet.

Dans l'état singulet ('spin-paired') la partie spatiale de la fonction d'onde est symétrique et spin asymétrique; $$ \ psi_S = \ psi_ {space} (sym) \ sigma_ {spin} (asym ) $$ dans l'état triplet avec des spins «parallèles», c'est l'inverse.

Les électrons peuvent être combinés en 4 états de spin possibles. En étiquetant les spins comme $ \ alpha, \ beta $ les combinaisons sont $ \ alpha \ alpha, \ beta \ beta, \ alpha \ beta, \ beta \ alpha $, parmi ces deux derniers ne sont ni symétriques ni asymétriques et donc des combinaisons linéaires sont faites pour assurer une symétrie adéquate. Les quatre états sont maintenant $ \ alpha \ alpha, \ beta \ beta, \ frac {1} {\ sqrt (2)} (\ alpha \ beta \ pm \ beta \ alpha) $.

L'agencement est montré plus en détail dans la figure suivante, où un modèle vectoriel du moment angulaire de spin (cônes / flèches) est utilisé pour illustrer la différence entre les états de spin singulet et triplet; ($ 1 $) et ($ 2 $) sont utilisés pour étiqueter les électrons.

En raison de la symétrie des états de spin, les états spatiaux sont déterminés comme symétriques pour un état singulet et asymétriques pour un triolet. Ceci est montré dans la figure suivante, qui montre, juste à titre d'illustration, la densité électronique tracée pour les particules dans une boîte. Dans le singulet les électrons se rassemblent mais dans le triplet, il leur est «interdit» d'occuper la même région les uns que les autres par symétrie (comme principe d'exclusion de Pauli). Dans certains textes, le rassemblement est appelé un «tas de fermi» et l'absence de celui-ci un «trou de fermi» bien que cela ne semble pas être un usage courant en chimie.

Oui, la densité de probabilité est différente de zéro.

Le livre Physique atomique des hautes énergies dans la section "4.3 Conditions de Kato Cusp" explique en détail pourquoi il en est ainsi pour l'état singulet.

("Kato" est Tosio Kato qui, en 1957, a publié un article célèbre sur ce sujet Sur les fonctions propres des systèmes à plusieurs particules en mécanique quantique Communications in Pure and Applied Mathématiques Vol. 10, pages 151-177.)

Dans la section 4.3.2, une équation est dérivée de l'hamiltonien pour un atome à deux électrons.

Où $ r_1 $ et $ r_2 $ sont les distances des électrons du noyau et $ r_ {12} $ est la distance entre les électrons:

$ \ frac {\ partial {\ Psi}} {\ partial {r_ {12}}} $ (at $ r_ {12} = 0 $) $ = \ frac {m \ alpha} {2} \ Psi $

Finalement dans la section "4.4.3 Fonctions d'onde approximatives le long des lignes de coalescence" ("coalescence" signifiant deux particules ou plus se trouvant au même point), une fonction d'onde approximative pour deux atomes d'électrons lorsque les électrons sont au même point est dérivée:

$ \ Psi = Ne ^ {- 2 \ eta R} $

où:

"R" est la distance entre les deux électrons du noyau

$ \ eta = mZ \ alpha $

et pour l'hélium $ N = 1,55 (m \ alpha) ^ 3 $

Vous avez raison. Si deux électrons occupent la même place, la répulsion sera infiniment grande dans la solution réelle de l'équation de Schrödinger.

Mais dans le cadre de l ' Approximation à un électron (HF, DFT), la probabilité de trouver deux électrons (spin-up et spin-down) au même endroit $ x_0 $ est différente de zéro.

Comme pour les deux électons de spin opposé, le mouvement des électrons est non corrélé . Cela signifie que la probabilité de trouver deux électrons à $ r_1 $ et $ r_2 $ peut être écrite comme suit:

$$ P (r_1, r_2) = \ mid \ psi_1 (r_1) \ mid ^ 2 \ times \ mid \ psi_2 (r_2) \ mid ^ 2 $$

quand $ r_1 = r_2 $, $ P (r_1, r_2) \ neq 0 $